Lecture 9 List的練習

建國高中特色選修課程 - 物理現象的程式設計與模擬
作者：賴奕帆
日期：2018/8/25

一、場的觀念

當某些物體出現時，會在它們四周空間裡造成影響，「場」就代表這些影響。

1. 純量場：物理量本身僅具有大小。Ex：雨量場。
2. 向量場：物理量本身不僅具有大小，還有方向之場。Ex：重力場、電場、磁場。
3. 重力場：一物體因有質量而在空間建立重力場，另一物體在此重力場中則受到萬有引力。

重力場強度和重力加速度

1. 重力場強度(gravitational field)：
   將測試質點放入空間中某點，其所受萬有引力 與其質量m的比值，定義為該點重力場強度 。簡稱為重力場。
   (1) 公式：每單位質量的物體所受之重力，即 $\overrightarrow{g}=\frac{\overrightarrow{F}}{m}=\frac{GM}{r^{2}}$
   (2) 單位：$\frac{N}{kg}$或$\frac{m}{s^{2}}$，方向與F相同，指向地心
   (3) 重力場強度是位置的函數，與測試質點無關。
   (4) 重力場為向量，場源有數個時，應以向量加法的方式合成。

2. 空間中某點的「重力場強度」等於該點的「重力加速度」。
3. 質量為$m$的質點在重力場強度為$\overrightarrow{g}$的位置，所受重力$\overrightarrow{W}=m\overrightarrow{g}$。
4. 重力場的向量性：
   疊加原理(Principle of superposition)：
   若空間一位置的重力場並不是單獨由一物所建立，則該位置的重力場強度為各物所單獨建立之重力場的向量和。如圖所示，星球質量M1及M2在P位置各建立的重力場為$\overrightarrow{g_{1}}$及$\overrightarrow{g_{2}}$，則P位置的重力場 $=\overrightarrow{g_{1}}+\overrightarrow{g_{2}}$ 。

電場(Eledtric field)

1. 電場︰在帶電體的周圍附近，電力所及的空間。

2. 電場強度(electric field strengh簡稱電場$\overrightarrow{E}$)：
   將電量甚小的測試電荷放入空間中某點(測試電荷不能影響原本空間電荷分佈)，其所受靜電力$\overrightarrow{F}$與其電量$q$的比值，定義為該點的電場強度$\overrightarrow{E}$。

3. 公式： $\overrightarrow{F_{E}}=q\overrightarrow{E}$ ; $\overrightarrow{E}=\overrightarrow{F_{E}}/q$
   (定義為：某點的電場等於單位正電荷在該點所受的靜電力。)

4. 電場單位：牛頓/庫侖

5. 點電荷在空間中產生的電場分布：
   (1)與點電荷$Q$相距$r$之某點的電場大小 $=\overrightarrow{E}=\overrightarrow{F_{E}}/q=\frac{\frac{kQq}{r^{2}}}{q}=\frac{kQ}{r^{2}}$ 。
   (2)若Q為正，電場方向背向Q向外射出；若Q為負，電場方向指向Q由外射入。

(3)點電荷不只一個時，空間中某點電場等於各個點電荷在此點建立電場的向量和。

電力線 (Line of electric force)

1. 法拉第引入的想像概念：
   沿著正電荷受力的方向連續移動所得的軌跡稱為電力線
   (1) 置一可動單位正電荷在電場中，沿所受電力方向緩慢連續移動此電荷所得的曲線。
   (2) 正電荷在線上任一點的切線方向，即電力在該點的方向，即此正電荷在該點所受電場方向。

2. 電力線的特性：
   (1)電力線始於正電荷，終止於負電荷，非封閉曲線。
   (2)電力線上各點切線方向表示「該點的電場方向」。
   (3)電力線互不相交，否則同一點將有兩個電場的方向。
   (4)電力線會彼此排擠，可解釋 同性 電會互斥。
   (5)電力線是張緊的力線，可解釋 異性 電會相吸。
   (6)電力線不一定等於正電荷的運動軌跡。

3. 「電力線密度」表示「電場強度大小」：
   (1) 每單位面積上通過的電力線數正比於該處的電場強度。
   (2) 電荷所發出或終止的電力線數須正比於其電量。

二、List的練習_萬有引力

同學若暫時不能完全理解上述計算其實沒有關係，總言之，若d<<R時，m會因受圓環萬有引力的作用，而在圓環環心處上下震盪，其震盪週期為

"""
    建國中學 Vpython物理模擬
    作者: 物理科 賴奕帆老師
    日期: 107/08/25
    特色課程 Lecture 09 List的練習_萬有引力_球與圓環的SHM
    9_01_SHM_Circle and Ball_Fg.py
"""
from vpython import *  #引用視覺畫套件Vpython
"""
    1. 參數設定
"""
G=2000  #重力常數
M=1.0     #圓環總質量
m=1.0     #球質量
dt = 0.001          
t = 0
R = 10     #圓環半徑
"""
    2. 畫面設定
"""
scene = canvas(width=1000, height=600, background=vec(0.6,0.8,0.8),range = 0.9*R)
scene.center = vec(0,0,0)					#設定視窗中心點
ball = sphere(pos=vector(0,0.5,0), radius = 0.5, color=color.green, v = vec(0,0,0), make_trail = True)

#  利用List畫出360顆小球代表圓環
balllist = []  
for N in range(0,360,1):  
    balllist.append(sphere(pos=vector(R*cos(N*pi/180),0,R*sin(N*pi/180)),
                           radius = 0.1, color=color.red))
"""
    3. 執行迴圈
"""
while True:
    rate (1000)

    t = t+dt
    ball.pos = ball.pos

練習List，用list寫長方形木板

將畫圓環的程式碼改為下面的語法。

""" 練習List_改成利用紅球畫棒子"""
for N in range(-50,51,1):
  balllist.append(sphere(pos=vector(N*0.02*R,0,0), radius = 0.1, color=color.red))

課堂作業 9-1

請嘗試用雙重甚至三重的迴圈，做出如下圖的平板甚至是立方體的圖示吧。

• 用小球繪製平板，同學可以猜猜這裡有幾個小球，如何編號呢?
  

• 用小球繪製立方體，老師這裡用的球比較少，因為太多會嚴重lag，共有7x7x7顆球。

讓球受圓環萬有引力，使其運動並計算簡諧運動週期

讓綠球受到圓環360顆紅色小球的受力，觀察綠球運動模式與計算運動週期

""" 讓綠球受到圓環360顆紅色小球的受力(3. 執行迴圈)"""
  Fglist=[]  #定義List
  for P in range(0,360,1):  #用for迴圈計算每個紅球與綠球間的距離與計算引力
    dist = ((ball.pos.x-balllist[P].x)**2+(ball.pos.y-balllist[P].y)**2+(________________)**2)**0.5
    radiavector = (ball.pos-balllist[P].pos)/dist
    Fglist.append(-G*M*m*radiavector/(dist**2))

  Fg = vector(0, 0, 0)          #每次迴圈重新計算要歸0
  for K in range(0,360,1):  #利用for迴圈將Fglist內儲存的力累加起來
    Fg += ______________              
  
  ball.v += ______________  #有力後就能改變速度與控制位置
  ball.pos = ball.pos + ball.v*dt

計算SHM震盪週期

利用三點紀錄法，讓程式算出簡諧運動的震盪週期，檢視是否與理論相符。

""" 三點紀錄法_定義前點位置(2. 畫面設定)"""
pre_ball_pos = vector(0,0,0)

""" 三點紀錄法_在迴圈中記錄前點與前前點(3. 執行迴圈)"""
  pre_pre_ball_pos = pre_ball_pos
  pre_ball_pos = vector(ball.pos.x , ball.pos.y, ball.pos.z)

""" 三點紀錄法_在綠球震盪最上方，列印震盪週期(3. 執行迴圈最末)"""
  if pre_ball_pos.y > pre_pre_ball_pos.y and pre_ball_pos.y > ball.pos.y :
    tp = _________________________
    print ('simulate period = ' , '%1.5f'%t , 'theory period = ' , '%1.5f'%tp)  
    t = 0

三、List的練習_重力場與靜電場

請同學先玩一下下述的程式碼，裡面用到滑鼠控制的部分，有機會再討論。

"""
    建國中學 Vpython物理模擬
    作者: 物理科 賴奕帆老師
    日期: 107/08/25
    特色課程 Lecture 09 List的練習
    Practice dipole field.py
"""
from vpython import *  #引用視覺畫套件Vpython

ec = 1.6e-19  # electron charge
scene = canvas(width=1000, height=600, background=vec(0.0,0.0,0.0),range = 2e-13)
scene.title="Electric Field Vectors"
charges = [ sphere( pos = vec(-1e-13,0,0), Q = +ec, color=color.red, radius = 6e-15 ),
            sphere( pos = vec(1e-13,0,0), Q = -ec, color=color.blue, radius = 6e-15 ),         ]
def getfield(p):
    f = vector(0,0,0)
    for c in charges:
        f = f + (p-c.pos) * 8.988e9 * c.Q / mag(p-c.pos)**3
    return f

while True:
    rate(30) #以每1/30秒的週期執行下列指令
    m_ev = scene.waitfor('click mousedown mouseup mousemove')  #滑鼠event
    if m_ev.event == 'mousedown':  #如果滑鼠按下左鍵
    
        f = getfield(m_ev.pos)
        m = mag(f)
        red = max( 1-1e17/m, 0 )
        blue = min(   1e17/m, 1 )
        if red >= blue:
            blue = blue/red
            red = 1.0
        else:
            red = red/blue
            blue = 1.0
        arrow( pos=m_ev.pos, axis=f * (4e-14/1e17),
               shaftwidth = 6e-15,color=vec(red,0,blue))

繪製空間中的重力場

先執行下述的程式碼，看看如何用List與for迴圈繪製空間中的場。

"""
    建國中學 Vpython物理模擬
    作者: 物理科 賴奕帆老師
    日期: 107/08/25
    特色課程 Lecture 09 List的練習_重力場與電場
    9_01_Gravity force field.py
"""
from vpython import *  #引用視覺畫套件Vpython
"""
    1. 參數設定
"""
G = 6.67 ; M = 6*10**1 ; Re = 10 ; t = 0 ; dt = 0.001
"""
    2. 畫面設定
"""
def ag(x):   #定義重力場公式
    return -G*M/(x**2)

scene = canvas(width=1000, height=800, center=vec(0,0,0),background=vec(0.6,0.8,0.8),range=6*Re)
earth = sphere(pos=vec(0,0,0), radius=Re, texture=textures.earth)

arrowlist = []  #定義箭頭放置的List
for N1 in range(-5,6,1): #X軸
  for N2 in range(-5,6,1):#Y軸
    arrowlist.append(arrow(pos=vector(N1*Re,N2*Re,0),axis=vector(5,0,0),shaftwidth=1 , color=color.red))

"""
    3. 執行迴圈
"""
while True:
    rate(1000)

• 讓空間中List中的箭頭方向改為所受地球重力場的方向。

"""
    2. 畫面設定
"""
for N in arrowlist:
  N_dist = mag(N.pos - earth.pos)  #計算每個箭頭與地球間的距離純量
  N_radiavector = norm(N.pos-earth.pos) #計算每個箭頭與地球間的距離單位向量
  if N_dist > 1.2*Re and N_dist < 5*Re:
    N.axis = ag(_________) * _________ * 10
  else: N.axis = vector(0,0,0)

課堂作業 9-2

如同課堂作業9-1，請同學嘗試修改上述的arrowlist append迴圈，寫出如下圖立方體空間的引力場。

四、List的練習_力線

在上節，我們已經會用向量箭頭來表達空間中的力場，在Vpython中能用力線表達力場嗎?

"""
    建國中學 Vpython物理模擬
    作者: 物理科 賴奕帆老師
    日期: 107/08/25
    特色課程 Lecture 09 List的練習_重力場與電場
    9_03_electric field line simulation.py
"""
from vpython import *  #引用視覺畫套件Vpython
"""
    1. 參數設定
"""
k = 9*10**9 ;  size = 0.1  ;  b_N = 36
Q1_charge = 10**(-5) #Q1電量 
Q1_position = vector(0, 0, 0) #Q1位置
t = 0 ; dt = 0.001
"""
    2. 畫面設定
"""
scene = canvas(title='dipole', height=600, width=1200, range=3.5,
                auto_scale=False, background=vec(0.3,0.4,0.4), fov=0.004)
Q1 = sphere(pos = Q1_position , radius = size , color = color.blue)

#2 畫出每個質點球, 每個球的名稱為field_ball[N] (N=0~b_N)
field_ball=[]
for N in range(0,b_N,1):#build field ball from ball
    field_ball.append(sphere(pos=vector(size*cos(2*pi*N/b_N), size*sin(2*pi*N/b_N),0)+Q1_position,
                             radius=0.01, color=color.yellow, make_trail=True, v=vec(0,0,0)))

def Force_E(r, q):#force of field 
    r1 = r - Q1_position
    return k*q*Q1_charge*r1.norm()/(r1.mag*r1.mag)

"""
    3. 執行迴圈
"""

while True:
    rate(1000)        
    for N in field_ball:
        N.v = Force_E(N.pos, 1.0).norm()
        N.pos += N.v*dt

加入一個紅色的負電荷，觀察電力線如何變化

首先在參數設定加入紅色負電荷的基本參數，並在畫面設定處置入紅色電荷。

"""
    1. 參數設定
"""
Q2_charge = -1*10**(-5) #Q2電量 
Q2_position = vector(2, 0, 0) #Q2位置
"""
    2. 畫面設定
"""
Q2 = sphere(pos = Q2_position , radius = size , color = color.red)

請同學們練習自行修正def Force_E(r, q)中的return，讓黃色小球運動的軌跡能同時依循藍色正電荷與紅色負電荷的庫倫作用力合力的方向。

def Force_E(r, q):#force of field 
    r1 = r - Q1_position
    r2 = ___________________
    return k*q*Q1_charge*r0.norm()/(r1.mag*r1.mag)+____________________________
    

讓紅色負電荷也射出電力線

上節程式碼成功的利用黃色小球代表單位正電荷，其運動軌跡繪出電力線來表達電力場的概念，但卻不夠對稱完美，能讓紅色負電荷也會射出"單位負電荷"，來繪製電力線吧。

"""
讓兩個球都能畫單位電荷，List的名稱分別為field_ball_1與field_ball_2
"""
field_ball_1=[]
for N in range(0,b_N,1):
    field_ball_????.append(sphere(pos=vector(size*cos(2*pi*N/b_N), size*sin(2*pi*N/b_N),0)+Q1_position,
                             radius=0.01, color=vec(1,1,0), make_trail=True, v=vector(0,0,0)))

field_ball_????=[]
for N in range(0,b_N,1):
    field_ball_????.append(sphere(pos=vector(size*cos(2*pi*N/b_N), size*sin(2*pi*N/b_N),0)+____________,
                             radius=0.01, color=vec(0.8,0.8,0.3), make_trail=True, v=vector(0,0,0)))

並且在"“執行迴圈”"處讓兩個List的單位電荷場球都能隨著靜電力的方向運動。

"""
  修改執行迴圈的程式碼，讓兩組List都能隨著靜電力方向運動
"""
    for N in field_ball_????:
        N.v = Force_E(N.pos, 1.0).norm()
        N.pos += N.v*dt

    for N in _______________:
        N.v = __________________________
        N.pos += _____________

加入一個橘色小電荷，觀察其運動

讓我們真實的加一顆能運動的橘色小電荷進去，看看它會怎麼動吧。

""" 設定電荷參數(1. 參數設定)"""
q_charge = 1 * 10 **(-7)  #小電荷電量
q_position = vector (1 , 1 , 0) #小電荷初始位置
q_m = 10**(-3)                  #小電荷質量   
q_v = vector (0.0 , 0.0 , 0.0)  #小電荷初速度

""" 在模擬中放置橘色小球代表電荷 (2. 畫面設定)"""
q = sphere(pos = q_position , radius = 0.5*size , color = color.green , v = q_v, make_trail=True)

""" 讓小電荷能受靜電力作用開始運動 (3. 執行迴圈)"""
    if mag(q.pos-Q1_position)>=size and mag(q.pos-Q2_position)>=size :    
        q.v = q.v + Force_E(q.pos, q_charge)/q_m *dt
        q.pos = q.pos+q.v*dt
    else :
        q.pos = q.pos

進階作業 9-1

105年 台大物理系二階段試題
在三維空間中有一xy平面，有兩個靜止的正面荷(電量為q)分別位於x軸的d/2和-d/2處，另有兩個靜止的負電荷(電量為-q)位於y軸的d/2和-d/2處，如下圖所示，請在xy平面上繪出電力線。

並嘗試在空間中也丟入一個綠色正電荷小球，使其受到這四顆固定電荷的靜電力，觀察其運動軌跡。

進階作業 9-2

請同學先執行以下程式碼

"""
    建國中學 vpython 物理模擬
    作者: 物理 科賴奕帆老師
    高二物理
    gas collision
"""
from vpython import *
from random import *
"""
1. 參數設定
"""
t = 0.0 ; t1 = 0.0  ; dt = 0.0001 #時間參數
theta = 30.0 * pi / 180 #氣體入射角度
d = 3.0  #氣體與牆壁距離
r = 0.50  #氣柱半徑
v0 = 2.0  # 氣體初速率
m = 0.01  #單一氣體質量
K = 5.0  #牆壁碰撞參數
per_N = 100.0 #每秒射出的氣體數
F_theory = 2*m*v0*cos(theta)*per_N  #氣體碰撞的理論平均力

"""
2. 畫面設定
"""
scene = canvas(align = 'left' , center = vec ( -0.5*d , 0 , 0 ) , height=600, width=600, range=3.5,
                auto_scale=False, background=vec(0.6,0.8,0.8) , fov = 0.004)  #設定畫面

wall = box(pos=vec(0.0,0,0),length=0.6, height=5 ,  width=5, opacity = 0.9 , texture = textures.wood)  #設定牆壁             

gas = []  #氣體的List

F_t = graph(align='left',width=400,height=400,     #畫J-t圖                                  
              title='F-t', xtitle='t', ytitle='F',
              foreground=color.black,background=color.white,
              xmax=5, xmin=0, ymax=2*F_theory, ymin=0)
f1 = gcurve(color=color.red)       
f2 = gcurve(color=color.blue)   

sum_F = 0  #計算程式中每顆小球撞擊牆壁時的總力
"""
3. 執行迴圈
"""
while True:
    rate(10000)
    t = t + dt       #時間
    t1 = t1 + dt  
    sum_F = 0     #每千分之一秒，程式內的總力要歸零重算

    if t1 > 1/ per_N:  # 設定per_N = 100.0時，則每1/100秒會射出一顆空氣分子
        t1 = 0  
        r_dom = random()  #空氣射出的位置隨機參數
        p_dom = random() #空氣射出的角度位置參數
        gas.append( sphere(pos = vector((-d*cos(theta)+r*r_dom*cos(p_dom*2*pi)*sin(theta)),(d*sin(theta)+r*r_dom*cos(p_dom*2*pi)*cos(theta)),(r*r_dom*sin(p_dom*2*pi))) , radius = 0.05, v = vec(v0*cos(theta),-v0*sin(theta),0) , Fx = 0 , visible = True))
        # 每1/100秒會產生一個隨機位置的空氣分子，以相同的速度射出
    for N in gas :  #gas List內所有的空氣分子撞擊牆壁時，都會受到一個-Kx的向左受力
        N.Fx = 0
        if N.pos.x > wall.pos.x:  #當x軸位置比牆壁還右側時，會受到-Kx的向左受力
            N.Fx = - K*(N.pos.x - wall.pos.x)  #牆壁給空氣分子的力
            N.v.x +=  N.Fx / m * dt                   #力改變x軸方向的速度
            N.pos += N.v*dt                              #速度控制位置
                  
        else:                                   #若空氣分子沒碰到牆壁時，即等速度前進
            N.pos += N.v*dt

        sum_F +=  -N.Fx               #累加所有空氣分子所受牆壁的受力

        if N.pos.x < -d*cos(theta) - 0.3 :   #當空氣分子打至左側 -d*cos(theta) - 0.3位置時，使其由List消失
            N.Fx = 0
            N.visible = False
            N = None
                    
    f1.plot( pos=(t,sum_F))              #繪圖
    f2.plot( pos=(t,F_theory)) 

""" 重新設定基本參數(1. 設定參數)"""
theta = 00.0 * pi / 180 #氣體入射角度, 改為平行入射
per_N = 5.0 #每秒射出的粒子數,改為每秒射入5個粒子

k = 9*10**9  #設定庫倫常數
Q_charge = 10**(-5)  #設定金原子電量
q_charge = 10 **(-8) #設定粒子電量
q_m = 10**(-3)       #設定粒子質量

""" 調整螢幕大小(2. 設定畫面)"""
scene = canvas(..., height=600, width=1000)